01背包问题

有 𝑁 件物品和一个容量是 𝑉 的背包。每件物品只能使用一次。

第 𝑖 件物品的体积是 𝑣𝑖，价值是 𝑤𝑖。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 𝑁 行，每行两个整数 𝑣𝑖,𝑤𝑖，用空格隔开，分别表示第 i𝑖 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<𝑁,𝑉≤1000
0<𝑣𝑖,𝑤𝑖≤1000

输入样例

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输出样例：

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Solution 

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
#include <map>
#include <set>
#include <unordered_set>
#define fi first
#define se second
#define VI vector<int>
#define VS vector<string>
#define sortq(q) sort(q.begin(),q.end())
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr)
#define endl '\n'
#define PII pair<int ,int>
#define PIS pair<int ,string>
#define PSI pair<string ,int>
#define PSS pair<string ,string>
// #define int long long
#define mod 1000000010

using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
string& replace(int pos, int n, const char *s);//将当前字符串从pos索引开始的n个字符，替换成字符串s
string& replace(int pos, int n, int n1, char c); //将当前字符串从pos索引开始的n个字符，替换成n1个字符c
// s1.replace(s1.size()-1,1,1,'.');           // 结果：hello,world.
const int N = 1010;
int n,m;
int f[N][N];
//动态规划第一点：递推关系式
//动态规划第二点：怎么初始化
//f[i][j]表示是看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少
//result = max(f[n][0~V]) 
int v[N],w[N];

signed main(){
	IOS;
	//读取数据
	cin >> n >> m;

	for(int i = 1;i <= n;i ++ ) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}

	for(int i = 1;i <= n;i ++ ) {
		for(int j = 0;j <= m;j ++ ) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品
			if(j >= w[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);//选第i个物品，因此在前i-1个物品里选择体积最大为j - w[i]的物品
		}
	}

	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}

完全背包问题

有 𝑁 种物品和一个容量是 𝑉 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 𝑖 种物品的体积是 𝑣𝑖，价值是 𝑤𝑖。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 𝑁 行，每行两个整数 𝑣𝑖,𝑤𝑖，用空格隔开，分别表示第 𝑖 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<𝑁,𝑉≤1000
0<𝑣𝑖,𝑤𝑖≤1000

输入样例

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输出样例：

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Solution

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
#include <map>
#include <set>
#include <unordered_set>
#define fi first
#define se second
#define VI vector<int>
#define VS vector<string>
#define sortq(q) sort(q.begin(),q.end())
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr)
#define endl '\n'
#define PII pair<int ,int>
#define PIS pair<int ,string>
#define PSI pair<string ,int>
#define PSS pair<string ,string>
#define int long long
#define mod 1000000010

using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
string& replace(int pos, int n, const char *s);//将当前字符串从pos索引开始的n个字符，替换成字符串s
string& replace(int pos, int n, int n1, char c); //将当前字符串从pos索引开始的n个字符，替换成n1个字符c
// s1.replace(s1.size()-1,1,1,'.');           // 结果：hello,world.
const int  N = 1010;
int n,m;/////闫式DP分析法，得再纸上自己推一遍
int f[N][N];
int w[N],v[N];

signed main(){
	IOS;
	cin >> n >> m;

	for(int i = 1;i <= n;i ++ ) cin >> w[i] >> v[i];

	for(int i = 1;i <= n;i ++ ) {
		for(int j = 0;j <= m;j ++ ) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品
			if(j >= w[i]) {//选第i个物品
				//f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i],f[i - 1][j - w[i] * 2] + v[i] * 2),......)
				//即f[i][j]     = max(f[i - 1][j],    f[i - 1][j - w]   + v, f[i - 1][j - 2w] + 2v.....)
				//又f[i][j - w] = max(f[i - 1][j - w],f[i - 1][j - 2w], + v, f[i - 1][j - 3w] + 2v.....)
				//所以  f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - w] + v)
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - w[i]] + v[i]);
			}	
		}
	}

	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}